1.1 红黑树的引入
有了二叉搜索树，为什么还需要平衡二叉树？
- 在学习二叉搜索树、平衡二叉树时，我们不止一次提到，二叉搜索树容易退化成一条链
- 这时，查找的时间复杂度从 o ( l o g 2 n ) o(log_2n) o(log2n)也将退化成 o ( n ) o(n) o(n)
- 引入对左右子树高度差有限制的平衡二叉树，保证查找操作的最坏时间复杂度也为 o ( l o g 2 n ) o(log_2n) o(log2n)
有了平衡二叉树，为什么还需要红黑树？
- avl的左右子树高度差不能超过1，每次进行插入/删除操作时，几乎都需要通过旋转操作保持平衡
- 在频繁进行插入/删除的场景中，频繁的旋转操作使得avl的性能大打折扣
- 红黑树通过牺牲严格的平衡，换取插入/删除时少量的旋转操作，整体性能优于avl
- 红黑树插入时的不平衡，不超过两次旋转就可以解决；删除时的不平衡，不超过三次旋转就能解决
- 红黑树的红黑规则，保证最坏的情况下，也能在 o ( l o g 2 n ) o(log_2n) o(log2n)时间内完成查找操作。
1.2 红黑规则
- 一棵典型的红黑树，如图所示
- 从图示，可以发现红黑树的一些规律：
- 节点不是红色就是黑色，根节点是黑色
- 红黑树的叶子节点并非传统的叶子节点，红黑树的叶子节点是null节点（空节点）且为黑色
- 同一路径，不存在连续的红色节点
- 以上是我们能发现的一些规律，这些规律其实是红黑规则的一部分
红黑规则
- 节点不是黑色，就是红色（非黑即红）
- 根节点为黑色
- 叶节点为黑色（叶节点是指末梢的空节点
nil或null） - 一个节点为红色，则其两个子节点必须是黑色的（根到叶子的所有路径，不可能存在两个连续的红色节点）
- 每个节点到叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点（相同的黑色高度）
一些说明
- 约束4和5，保证了红黑树的大致平衡：根到叶子的所有路径中，最长路径不会超过最短路径的2倍。
- 使得红黑树在最坏的情况下，也能有 o ( l o g 2 n ) o(log_2n) o(log2n)的查找效率
- 黑色高度为3时，最短路径：黑色 → \rightarrow → 黑色 → \rightarrow → 黑色，最长路径：黑色 → \rightarrow → 红色 → \rightarrow → 黑色 → \rightarrow → 红色 → \rightarrow → 黑色
- 最短路径的长度为2（不算
nil的叶子节点），最长路径为4 - 这是其他博客的举例，自己也不是很懂
- 关于叶子节点：java实现中，null代表空节点，无法看到黑色的空节点，反而能看到传统的红色叶子节点
- 默认新插入的节点为红色：因为父节点为黑色的概率较大，插入新节点为红色，可以避免颜色冲突
1.3 红黑树的应用
- java中，treemap、treeset都使用红黑树作为底层数据结构
- jdk 1.8开始，hashmap也引入了红黑树：当冲突的链表长度超过8时，自动转为红黑树
- linux底层的cfs进程调度算法中，vruntime使用红黑树进行存储。
- 多路复用技术的epoll，其核心结构是红黑树 双向链表。
参考文档：为什么这么多关于红黑树的面试题呢？
2.1 红黑树的定义
-
上一章节可知，红黑树要比二叉搜索树多一个颜色属性
-
同时，为了方便确认插入位置，还可以多一个parent属性，用于表示当前节点的父节点
-
因此，红黑树节点的定义如下：
class redblacktreenode { public int val; public redblacktreenode left; public redblacktreenode right; // 记录节点颜色的color属性，暂定true表示红色 public boolean color; // 为了方便迭代插入，所需的parent属性 public redblacktreenode parent; // 一些构造函数，根据实际需求构建 public redblacktreenode() { } } -
红黑树中，有一个root属性，用于记录当前红黑树的根节点
public class redblacktree { // 当前红黑树的根节点，默认为null private redblacktreenode root; } -
当红黑规则不满足时，需要对节点进行变色或旋转操作
2.2 红黑树的左旋
回忆二叉树的左旋：
- 手工推演（先冲突，再移动）：
- 根节点成为右儿子的左子树；
- 右儿子原有的左子树成为根节点的右子树
- 代码实现（先空位，再补齐）：
- 右儿子的左子树成为根节点的右子树
- 根节点成为右儿子的左子树
红黑树的左旋
- 红黑树节点中，包含父节点的引用
- 进行左旋时，不仅需要更新左右子树的引用，还需要更新父节点的引用
左旋需要三大步（被旋转的节点叫做节点p）：
-
空出右儿子的左子树： （对应下图步骤2）
- 右儿子的左子树取代右儿子，成为节点p的右子树，从而空出右儿子的左子树
- 若右儿子的左子树不为空，需要更新左子树的父节点为节点p
-
空出节点p的父节点： （对应下图步骤3）
- 右儿子去取代节点p，成为其父节点的子树
- 父节点指向右儿子
- 若父节点为null，root将指向右儿子，右儿子成为整棵树的根节点；
- 节点p是父节点的左子树，则右儿子成为父节点的左儿子；
- 节点p是父节点的右子树，则右儿子成为父节点的右儿子
-
节点p和右儿子成功会师： （对应下图步骤4）
- 上述两步，空出了节点p的父节点和右儿子的左子树。
- 这时直接更新，即可将节点p变成右儿子的左子树。
-
给出一个不是很正确的示意图
-
具体代码如下：
public void leftrotate(redblacktreenode p) { // 在当前节点不为null时，才进行左旋操作 if (p != null) { // 先记录p的右儿子 redblacktreenode rightchild = p.right; // 1. 空出右儿子的左子树 p.right = rightchild.left; // 左子树不为空，需要更新父节点 if (rightchild.left != null) { rightchild.left.parent = p; } // 2. 空出节点p的父节点 rightchild.parent = p.parent; // 父节点指向右儿子 if (p.parent == null) { // 右儿子成为新的根节点 this.root = rightchild; } else if (p == p.parent.left) { // 右儿子成为父节点的左儿子 p.parent.left = rightchild; } else { // 右儿子成为父节点的右儿子 p.parent.right = rightchild; } // 3. 右儿子和节点p成功会师，节点p成为左子树 rightchild.left = p; p.parent = rightchild; } }
2.3 红黑树的右旋
回忆二叉树的右旋：
-
手工推演（先冲突，再移动）：
- 根节点成为左儿子的右子树
- 左儿子原有的右子树成为根节点的左子树
-
代码实现（先空位，再补齐）：
- 左儿子的右子树成为根节点的左子树
- 根节点成为左儿子右子树
红黑树的右旋
- 与红黑树的左旋一样，由于父节点引用的存在，不仅需要更新左右子树的引用，还需要更新父节点的引用
右旋需要三大步（被旋转节点称为节点p）：
-
空出左儿子的右子树： （对应下图步骤2）
- 左儿子的右子树取代左儿子，成为节点p的左子树，以空出左儿子的右子树
- 若左儿子的右子树不为空，需要更新右子树的父节点为节点p
-
空出节点p的父节点： （对应下图步骤3）
- 左儿子取代节点p，成为其父节点的子树
- 父节点指向左儿子：
- 父节点为空，root将指向左儿子，左儿子成为整棵树的根节点
- 节点p为父节点的左子树，左儿子成为父节点的左子树
- 节点p为父节点的右子树，左儿子成为节点p的右子树
-
节点p和左儿子成功会师： （对应下图步骤4）
- 上述两步，空出了节点p的父节点和左儿子的右子树。
- 这时直接更新，即可将节点p成左儿子的右子树
-
给出一个不是很正确的示意图
-
具体代码如下：
public void rightrotate(redblacktreenode p) { if (p != null) { // 记录p的左儿子 redblacktreenode leftchild = p.left; // 1. 空出左儿子的右子树 p.left = leftchild.right; // 右子树不为空，需要更新父节点 if (leftchild.right != null) { leftchild.right.parent = p; } // 2. 空出节点p的父节点 leftchild.parent = p.parent; // 父节点指向左儿子 if (p.parent == null) { // 左儿子成为整棵树根节点 this.root = leftchild; } else if (p.parent.left == p) { // 左儿子成为父节点左儿子 p.parent.left = leftchild; } else { // 左儿子成为父节点的右儿子 p.parent.right = leftchild; } // 3. 顺利会师 leftchild.right = p; p.parent = leftchild; } }
2.4 红黑树新增节点
一些规则：
- 新插入的节点默认为红色，原因：插入黑色节点会影响黑色高度，对红黑树的影响更大；
- 新增节点x时，循环的依据：
x != null && x != root && x.parent.color == red，即节点非空、不是整棵树的根节点（保证存在父节点）且父节点为红色（违反红黑规则4，需要调整） - 完成循环调整后，需要将整棵树的根节点设为黑色，以满足红黑规则1；同时，根节点设为黑色，不会影响从根节点开始的所有路径的黑色高度
2.4.1 父亲为祖父的左儿子
情况一：父亲和叔叔都是红色
- 当父亲为祖父的左儿子，父亲和叔叔都是红色时：
（1）将父亲和叔叔改成黑色，以满足红黑规则4
（2）父亲和叔叔变成黑色了，黑色高度变化，需要将祖父变成红色，以满足红黑规则5
（3）从祖父开始，继续调整 - 示意图如下
情况二：叔叔为黑色，自己是父亲的左儿子
-
父亲为祖父的左儿子，叔叔为黑色，自己是父亲的左儿子
（1）父亲变成黑色，祖父变成红色（右子树的黑色高度变低）
（2）对祖父进行右旋，让父节点成为新的祖父，以恢复右子树的黑色高度
（3）不满足循环条件，退出循环 -
示意图如下：
情况三：叔叔为黑色，自己是父亲的右儿子
- 父亲为祖父的左儿子，叔叔为黑色，自己是父亲的右儿子
（1）父亲成为新的x，对父亲进行左旋操作，构造情况二的初始状态
（2）按照情况二，对新的x（原父亲）进行处理 - 示意图如下：
2.4.2 父亲为祖父的右儿子
情况一：父亲和叔叔都是红色
- 父亲为祖父的右儿子，父亲和叔叔都是红色
（1）将父亲和叔叔都变成黑色，以保证红黑规则4
（2）将祖父变成红色，以保证红色规则5（相同的黑色高度）
（3）从祖父开始，继续调整 - 示意图如下
情况二：叔叔为黑色，自己是父亲的右儿子
- 父亲为祖父的右儿子，叔叔为黑色，自己是父亲的右儿子
（1）父亲变成黑色，祖父变成红色（左子树的黑色高度降低）
（2）对祖父进行左旋操作，以恢复左子树的黑色高度
（3）不满足循环条件，退出循环 - 示意图如下
情况三：叔叔为黑色，自己是父亲的左儿子
- 父亲是祖父的右儿子，叔叔为黑色，自己是父亲的左儿子
（1）父节点成为新的x，对父亲进行右旋操作，构造情况二的初始情况
（2）按照情况二，对新的x（原父节点）进行处理 - 示意图如下：
2.4.3 规律总结
- 循环条件：
x != null && x != root && x.parent.color == red，即节点非空、不是整棵树的根节点（保证存在父节点）且父节点为红色 - 最终处理：将整棵树的根节点变成黑色，以满足红黑规则1，又不会违反红黑规则5
- 对父亲是祖父的左儿子或右儿子的处理是对称的，只需要理解左儿子时的处理方法，就可以举一反三，知道对右儿子的处理方法
父亲为祖父的左儿子：
- 父亲和叔叔都是红色，将父亲和叔叔变成黑色，祖父变成红色，继续对祖父进行调整
- 叔叔是黑色，自己是父亲的左儿子：父亲变成黑色，祖父变成红色；对祖父进行右旋以满足红黑规则；此时节点不满足循环条件，可以退出循环。
- 叔叔是黑色，自己数父亲的右儿子：父亲成为新的x，对父亲执行左旋操作，构造情况2；按照情况2继续进行处理
- 总结： 父叔同色，只进行变色操作；父叔异色，自己是右儿子，则进行lr操作；父叔异色，自己是左儿子，则进行r操作
父亲为祖父的右儿子
- 父叔同色，只进行变色操作
- 父叔异色，自己是左儿子，则进行rl操作
- 父叔异色，自己是右儿子，则进行l操作
2.4.4 代码实现
-
根据上面的分析，不难写出新增红黑节点后的代码
-
假设新增的节点为p，则代码如下
public void fixafterinsert(redblacktreenode x) { // 新插入的节点，默认为红色 x.color = red; // p不为null、不是整棵树的根节点、父亲为红色，需要调整 while (x != null && this.root != x && x.parent.color == red) { // 父亲是祖父的左儿子 if (parentof(x) == parentof(parentof(x)).left) { // 父亲和叔叔都是红色 redblacktreenode uncle = parentof(parentof(x)).right; if (uncle.color == red) { // 父亲和叔叔都变成黑色 parentof(x).color = black; uncle.color = black; // 祖父变成红色，继续从祖父开始进行调整 parentof(parentof(x)).color = red; x = parentof(parentof(x)); } else { // 叔叔为黑色 // 自己是父亲的右儿子，需要对父亲左旋 if (x == parentof(x).right) { x = parentof(x); leftrotate(x); } // 自己是父亲的左儿子，变色后右旋，保持黑色高度 parentof(x).color = black; parentof(parentof(x)).color = red; rightrotate(parentof(parentof(x))); } } else { //父亲是祖父的右儿子 redblacktreenode uncle = parentof(parentof(x)).left; // 父亲和叔叔都是红色 if (uncle.color == red) { // 叔叔和父亲变成黑色 parentof(x).color = black; uncle.color = black; // 祖父变为红色，从祖父开始继续调整 parentof(parentof(x)).color = red; x = parentof(parentof(x)); } else { // 自己是父亲的左儿子，以父亲为中心右旋 if (parentof(x).left == x) { x = parentof(x); rightrotate(x); } // 自己是父亲的右儿子，变色后左旋，保持黑色高度 parentof(x).color = black; parentof(parentof(x)).color = red; leftrotate(parentof(parentof(x))); } } } // 最后将根节点置为黑色，以满足红黑规则1，又不会破坏规则5 this.root.color = black; } private static redblacktreenode parentof(redblacktreenode p) { return (p == null ? null : p.parent); }
参考文档
- 操作过程与本文有差异，但调整后的结果具有参考意义：java红黑树详解
2.5 删除节点
一些规则：
- 删除节点时，通过节点替换实现删除
- 假设替换节点为x，需要在x替换被删节点后，从x开始进行调整
- 调整操作，循环的依据：
x != root && x.color == black，即替换节点不能为整棵树的根节点，替换节点的颜色为黑色（改变了红黑高度） - 完成循环调整后，需要将x设为黑色，结束调整
2.5.1 自己是父亲的左儿子
情况一：兄弟为红色
- 此时，自己为黑色、兄弟为红色、父节点为黑色（满足红黑规则4）
（1）将兄弟变成黑色，父节点变成红色；这时，以父节点为起点的左子树黑色高度降低
（2）对父节点进行左旋，以恢复左子树黑色高度；同时，兄弟的左孩子成为新的兄弟 - 此时，自己和兄弟都是黑色，可能满足满足情况2、3和4、4
- 示意图如下：
情况二：兄弟为黑色，左右侄子也是黑色
- 此时，自己和兄弟都是黑色，父节点为黑色或红色；兄弟的两个儿子，都是黑色
（1）将兄弟变成为红色，x指向父节点，继续进行调整 - 示意图如下:
情况三：兄弟为黑色，右侄子为黑色
- 此时，自己和兄弟均为黑色，父节点为红色或黑色；右侄子为黑色、左侄子为红色；
（1）将左侄子变成黑色，兄弟变为红色；这时，以兄弟为起点的右子树黑色高度降低
（2）将兄弟节点右旋，以恢复右子树的黑色高度；这时，左侄子将成为新的右兄弟 - 此时，兄弟的右儿子为红色，满足情况4；继续按照情况4，对节点x进行调整
- 示意图如下：
情况四：兄弟为黑色，右侄子为红色
- 此时，自己和兄弟都是黑色，父节点为红色或黑色；右侄子为红色，左侄子为黑色或红色
（1）兄弟颜色改成与父节点一致，右侄子和父节点都变成黑色
（2）为了保证父节点变为黑色后，不影响所有路径的黑色高度，需要将父节点左旋（兄弟节点上提）
（3）x指向根节点，结束循环 - 示意图如下：
2.5.2 自己是父亲的右儿子
情况一：兄弟是红色节点
-
此时，兄弟是红色节点，父节点必为黑色；若兄弟有左右儿子，左右儿子必为黑色（满足红黑规则4）
（1）将兄弟变成黑色节点，父节点变成红色；这时，以父节点为起点的右子树黑色高度降低
（2）将父节点右旋，以恢复右子树的黑色高度；这时，兄弟的右孩子成为新的兄弟 -
此时，自己和兄弟都是黑色，将满足情况2、3和4、4
-
示意图如下：
情况二：兄弟是黑色，左右侄子也是黑色
- 此时，自己和兄弟是黑色，父节点可以为红色或黑色
（1）将兄弟变成红色，x指向父节点，继续对父节点进行调整 - 示意图如下:
情况三：兄弟为黑色，左侄子为黑色
- 此时，自己和兄弟均为黑色，父节点为黑色或红色；左侄子为黑色，右侄子为红色
（1）将右侄子变成黑色，兄弟变成红色；这是，以兄弟为起点的左子树黑色高度降低
（2）将兄弟左旋，以恢复左子树的黑色高度；这时，右侄子成为新的兄弟 - 此时，将满足情况4，可以按照情况4，继续进行调整
- 示意图如下：
情况四：兄弟为黑色，左侄子为红色
- 此时，自己和兄弟均为黑色，父节点为红色或黑色；左侄子为红色，右侄子为红色或黑色
（1）将兄弟变成与父节点一样的颜色，左侄子和父节点变成黑色
（2）为了保证父节点变成黑色，不会影响所有路径的黑色高度，需要将父节点右旋（兄弟上提）
（3）x指向根节点，退出循环 - 示意图如下：
2.5.3 规律总结
- 循环条件：
x != root && x.color = black，x不是根节点且颜色为黑色 - 收尾操作：将x置为黑色
- x为父亲的左儿子或右儿子，处理操作是对称的；同样只需要记住左儿子时的操作，即可举一反三
x为父亲的左儿子
- 兄弟为红色：将兄弟变成黑色，父节点变成红色；对父节点左旋，恢复左子树的黑色高度，左侄子成为新的兄弟
- 兄弟为黑色，左右侄子为黑色：兄弟变成红色，x指向父节点，继续进行调整
- 兄弟为黑色，右侄子为黑色（左侄子为红色）：左侄子变成黑色，兄弟变成红色；兄弟右旋，恢复右子树的黑色高度，左侄子成为新的兄弟
- 兄弟为黑色，右侄子为红色：兄弟变成父节点颜色，父节点和右侄子变成黑色；父节点左旋，x指向整棵树的根节点，结束循环
2.5.4 代码实现
-
删除节点后，调整红黑树的代码如下
public void fixafterdeletion(redblacktreenode x) { // x不是根节点且颜色为黑色，开始循环调整 while (x != root && x.color == black) { // x是父亲的左儿子 if (x == parentof(x).left) { redblacktreenode brother = parentof(x).right; // 兄弟为红色 if (brother.color == red) { // 兄弟变成黑色，父节点变成红色 brother.color = black; parentof(x).color = red; // 父节点左旋，恢复左子树的黑色高度 leftrotate(parentof(x)); // 更新兄弟 brother = parentof(x).right; } // 兄弟为黑色，左右侄子为黑色 if (brother.left.color == black && brother.right.color == black) { // 兄弟变成红色 brother.color = red; // 从父节点开始继续调整 x = parentof(x); } else { // 右侄子为黑色（左侄子为红色） if (brother.right.color == black) { // 左侄子变为黑色，兄弟变成红色 brother.left.color = black; brother.color = red; // 兄弟右旋，恢复右子树黑色高度 rightrotate(brother); // 左侄子成为新的兄弟 brother = parentof(x).right; } // 右侄子为红色，兄弟变成父节点颜色 brother.color = parentof(x).color; // 父节点和右侄子变成黑色 parentof(x).color = black; brother.right.color = black; // 父节点左旋 leftrotate(parentof(x)); // x指向根节点 x = root; } } else { redblacktreenode brother = parentof(x).left; // 兄弟为红色 if (brother.color == red) { // 兄弟变黑色，父亲变红色 brother.color = black; parentof(x).color = red; // 父亲右旋，恢复红黑色高度 rightrotate(parentof(x)); // 更新兄弟为右侄子 brother = parentof(x).left; } // 兄弟的左右儿子为黑色 if (brother.left.color == black && brother.right.color == black) { // 兄弟变为红色 brother.color = red; // x指向父节点，继续进行调整 x = parentof(x); } else { // 左侄子为黑色(右侄子为红色) if (brother.left.color == black) { // 右侄子变黑色，兄弟变红色 brother.right.color = black; brother.color = red; // 对兄弟左旋 leftrotate(brother); // 右侄子成为新的兄弟 brother = parentof(x).left; } // 左侄子为红色，兄弟改为父节点颜色 brother.color = parentof(x).color; // 父节点和左侄子变成黑色 brother.left.color = black; parentof(x).color = black; // 兄弟节点上提(右旋父节点) rightrotate(parentof(x)); // x指向根节点 x = root; } } } // 更新x为黑色 x.color = black; }
参考文档
- 删除节点后，如何调整红黑树，有清晰且与jdk源码一致的讲解：自己手写hashmap——红黑树的java实现
- 其他参考：红黑树深入剖析及java实现
- 红黑树，自己差不多学了两周，菜鸟就是这么龟速
- 而且，关于删除或新增节点的调整，过一段时间就会忘记
- 这也是由于自己理解不到位，存在死记硬背的情况
- 红黑树的删除或新增节点时的调整，应该属于高阶问题。面试被问到，能回答那就是加分项（毕竟我的追求不高）
红黑树的重要知识点
- 从二叉搜索树 → \rightarrow → avl，严格控制左右子树高度差，避免二叉搜索树退化成链表（时间复杂度从 o ( l o g 2 n ) o(log_2n) o(log2n) 退化成 o ( n ) o(n) o(n)
- 从avl → \rightarrow → 红黑树，牺牲严格的平衡要求，以换取新增/删除节点时少量的旋转操作，平均性能优于avl；通过红黑规则，保证在最坏的情况下，也能拥有 o ( l o g 2 n ) o(log_2n) o(log2n)的时间复杂度新城
- 红黑树的应用：java的treemap、treeset、hashmap(jdk1.8)；linux底层的cfs进程调度算法中，vruntime使用红黑树进行存储；多路复用技术的epoll，其核心结构是红黑树 双向链表。
- 红黑规则
- 红黑树节点的定义、红黑树的定义、红黑树的左旋、右旋操作
- 红黑树新增节点后的调整，记住左儿子的情况，举一反三右儿子的情况
- 红黑树删除节点后的调整，记住左儿子的情况，举一反三右儿子的情况
后来在学习的过程中，发现了一些还不错的博客
- 对红黑树的增加、删除节点的调整讲得不错（虽然自己也没有仔细看）：java treemap 源码解析